Kalkulus

MATERI KULIAH KALKULUS Disusun oleh: Selvia Nuer Agustin, S.Ars. FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI PRODI TEKNOLOGI INFORMASI UNIVERSITAS IBRAHIMY SUKOREJO SITUBONDO 2018 Rumus Integral Matematika- Dalam matematika ada namanya turunan ada juga namanya integral. Lalu, apa itu integral? Ia adalah lawan dari turunan atau diferensiasi. Sobat di Kelas XII pasti akan mendapatkan materi matematika ini. Integral juga dikenal sebagai antidiferensial dan dilambangkan dengan bentuk : ∫ (integral) Sebuah fungsi F(X) disebut sebagai integral dari f(x) selagi apabila turunan pertama F'(x) = f(x). Jadi sebuah persamaan jika diturunkan kemudian diintegralkan akan mengahasilkan persamaan seperti bentuk awal. Contoh Sobat punya persamaan f(x) = x2 + 2x, ketika persamaan itu di turunakan maka akan menghasilkan f'(x) = 2x + 2. Dengan menggunakan integral akan dapat mengembalikan bentuk 2x + 2 ke bentuk x2 + 2x. Jika turunan menurunkan 1 tingkat eksponen dari x2 ke x maka integral akan mengembalikan tingkat eksponen satu tingkat lebih tinggi, misal x menjadi x2, x2menjadi x3, dan seterusnya. Ada dua macam integral yaitu integral tak tentu dan integral tentu. Integral Tak Tentu Yang dinamakan integral tak tentu adalah integral yang tidak memiliki batas atas dan bawah. Biasanya hanya berupa integral dari sebuah aljabar matematika. Bentuk integral ini tidak memiliki daerah asal dan tidak memiliki daerah hasil ∫ f(x) dx = F(x) + c Integral Tentu Pondasi dasar tentang integral tentu pertama kali diperkenalkan oleh Newton dan Leibinz yang kemudian dieperkenalkan secara modern oleh Riemann. Integral ini memiliki batas atas dan batas bawah. Dalam aplikasinya, integral tentu banyak digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva dengan batas tertentu atau menghitung volume benda jika diputar. rumus integral tentu Mengenal Sifat dan Rumus Integral berikut ini sifat-sifat dari operasi integral sifat sifat integral Rumus Dasar Integral 7 rumus umum selain rumus dasar di atas, sobat bisa menggunakan rumus cepat lagi praktis rumus praktis integral Integral Fungsi Aljabar Jika ada fungsi aljabar yang diintegralkan maka sobat bisa menggunakan rumus berikut: integral aljabar contoh, jika sobat punya aljabar 2x + 5 ketika diitegralkan akan mendapatkan hasil sebagai berikut: ∫▒〖2x+5= 2/(1+1) x^(1+1) 〗+ 5x+c ∫▒〖2x+5= x^2 〗+ 5x+c Integral Fungsi Eksponen integral bentuk eksponensial contoh: ∫ 3e4x dx Kita misalkan 4x = u sehingga persamaan di atas menjadi ∫ 3e4x dx = ∫ 3eu du/4 = 3/4 ∫ 3eu du = 3/4 eu + c = 3/4 e4x + C Intgeral Fungsi Trigonometri berikut rumus integral dari trigonometri yang sering dipakai dalam soal-soal matematika. a. Integral dengan variabel sudut x atau sudut ax ∫ sin x dx = – cos x + c ∫ cos x dx = sin x + c ∫ sin ax dx = – (1/a) cos ax + c ∫ cos ax dx = (1/a) sin ax + c ∫ secs2 x dx = tan x + c b. Integral dengan Bentuk Pangkat HOME Rumus Integral Matematika rumus hitung No Comments Rumus Integral Matematika- Dalam matematika ada namanya turunan ada juga namanya integral. Lalu, apa itu integral? Ia adalah lawan dari turunan atau diferensiasi. Sobat di Kelas XII pasti akan mendapatkan materi matematika ini. Integral juga dikenal sebagai antidiferensial dan dilambangkan dengan bentuk : ∫ (integral) Sebuah fungsi F(X) disebut sebagai integral dari f(x) selagi apabila turunan pertama F'(x) = f(x). Jadi sebuah persamaan jika diturunkan kemudian diintegralkan akan mengahasilkan persamaan seperti bentuk awal. Contoh Sobat punya persamaan f(x) = x2 + 2x, ketika persamaan itu di turunakan maka akan menghasilkan f'(x) = 2x + 2. Dengan menggunakan integral akan dapat mengembalikan bentuk 2x + 2 ke bentuk x2 + 2x. Jika turunan menurunkan 1 tingkat eksponen dari x2 ke x maka integral akan mengembalikan tingkat eksponen satu tingkat lebih tinggi, misal x menjadi x2, x2menjadi x3, dan seterusnya. Ada dua macam integral yaitu integral tak tentu dan integral tentu. Integral Tak Tentu Yang dinamakan integral tak tentu adalah integral yang tidak memiliki batas atas dan bawah. Biasanya hanya berupa integral dari sebuah aljabar matematika. Bentuk integral ini tidak memiliki daerah asal dan tidak memiliki daerah hasil ∫ f(x) dx = F(x) + c Integral Tentu Pondasi dasar tentang integral tentu pertama kali diperkenalkan oleh Newton dan Leibinz yang kemudian dieperkenalkan secara modern oleh Riemann. Integral ini memiliki batas atas dan batas bawah. Dalam aplikasinya, integral tentu banyak digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva dengan batas tertentu atau menghitung volume benda jika diputar. rumus integral tentu Mengenal Sifat dan Rumus Integral berikut ini sifat-sifat dari operasi integral sifat sifat integral Rumus Dasar Integral 7 rumus umum selain rumus dasar di atas, sobat bisa menggunakan rumus cepat lagi praktis rumus praktis integral Integral Fungsi Aljabar Jika ada fungsi aljabar yang diintegralkan maka sobat bisa menggunakan rumus berikut: integral aljabar contoh, jika sobat punya aljabar 2x + 5 ketika diitegralkan akan mendapatkan hasil sebagai berikut: ∫▒〖2x+5= 2/(1+1) x^(1+1) 〗+ 5x+c ∫▒〖2x+5= x^2 〗+ 5x+c Integral Fungsi Eksponen integral bentuk eksponensial contoh: ∫ 3e4x dx Kita misalkan 4x = u sehingga persamaan di atas menjadi ∫ 3e4x dx = ∫ 3eu du/4 = 3/4 ∫ 3eu du = 3/4 eu + c = 3/4 e4x + C Intgeral Fungsi Trigonometri berikut rumus integral dari trigonometri yang sering dipakai dalam soal-soal matematika. a. Integral dengan variabel sudut x atau sudut ax ∫ sin x dx = – cos x + c ∫ cos x dx = sin x + c ∫ sin ax dx = – (1/a) cos ax + c ∫ cos ax dx = (1/a) sin ax + c ∫ secs2 x dx = tan x + c b. Integral dengan Bentuk Pangkat ∫sinn x. cos x dx = (1/(n+1)) sinn+1 x + c ∫ cosn x.sin x dx = (-1/(n+1)) cosn+1 + c ∫ sinn x dx = ∫ sinn-1 x. sin x dx (jika n ganjil) ∫ cosn x dx = ∫ cosn-1x . cos x dx (jika n ganjil) ∫ sinn x dx = ∫ (sin2 x)n/2 dx (jika n genap) ∫ cosn x dx = ∫ (cos2 x)n/2 dx (jika n genap) baca juga rumus-rumus trigonometri Metode-Metode Integral Ada dua metode integral yang sering digunakan dalam menyelesaikan soal. Mereka adalah metode substitusei (penggantian) dan metode parsial. Berikut penjelasannya a. Metode Substitusi Untuk mengintegralkan sebuah alajabar sobat bisa menggunakan metode penggantian atau substitusi. Misalkan u = g(x) dengan g(x) merupkan fungsi yang mempunyai turunan maka ∫ f(g(x)).g'(x) = ∫ f(u).du = F(u) + c biar lebih paham rumusnya yuk simak contoh soal berikut: contoh soal integral trigonometri Kunci dari pemecahan soal di atas adalah permisalan 1/x kita misalkan dengan u. Jadi untuk memecahkan soal-soal integral dengan cara ini sobat harus pandai-pandai membuat permisalan. Berikut contoh lainnya: soal integral permisalan kita misalkan 3x2 + 9x -1 sebagai u sehingga du = 6x + 9 2x + 3 = 1/3 (6x + 9) = 1/3 du jawaban sekranga kita ganti kembali u dengan 3x2 + 9x -1 sehingga didapatkan jawaban: jawab2 b. Metode Parsial Teknik atau metode lain yang bisa digunakan untuk melakukan integral adalah dengan metode parsial. Teknik ini biasanya digunakan untuk mencari suatu fungsi yang tidak dapat dicari integralnya jika menggunakan cara substitusi seperti pada huruf a di atas. Jika u = f(x) dan v = g(x) maka berlaku rumus integral parsial: ∫ u.dv = u.v – ∫ v. du Contoh Soal: Berapa hasil dari ∫ x sin x ? kita misalkan u = x maka du = dx dv = sin x maka v = -cos x (lihat rumus integral trigonometri sebelumnya) kita masukkan ke rumus ∫ u.dv = u.v – ∫ v. du ∫ x sin x = x (-cos x) – ∫ (-cos x) dx = -x . cos x + sin x + c Penggunaan Trigonometri Untuk Mencari Luas Daerah di Bawah Kurva dan Volume Benda Putar Salah satu penggunaan integral adalah untuk mencari luas daerahh di bawah 1 atau lebih kurva. Berikut kami rangkumkan ilustrasi gambar berikut rumusnya: Luas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu x untuk mencari luas di bawah sebuah kurva sobat cukup mengintegralkan persamaan garis tersebut kemudian memasukkan nilai x. ilustrasi 1luas daerah di bawah kurva Luas Daerah yang Dibatasi Dua Kurva dan Sumbu X ilustrasi 2rumus integral dua grafik b. Volume Benda Putar Selain bisa digunakan untuk menghitung luasan di bawah kurva, integral bisa juga digunakan untuk mencari volume benda putar. Volume benda putar adalah volume benda yang terjadi ketika sebuah bidang dua dimensi diputar menurut sumbu tertentu (x atau y).

Share: